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In mwawmatematica il mwbadominio e il mwbqcodominio di una mwbgfunzione sono gli mwbwinsiemi su cui essa è definita. Una funzione, infatti, è una relazione che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

• Definizione di funzione

• Insieme di definizione

• Insieme delle immagini

• In analisi complessa

• Topologia

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

In matematica una mwcwfunzione è il dato di tre oggetti: un mwdadominio mwdq X {\displaystyle X} , un mwdgcodominio mwdw Y {\displaystyle Y} e una mwealegge mweq x ↦ ↦ f ( x ) {\displaystyle x\mapsto f(x)} che associa ad ogni elemento mweg x {\displaystyle x} di mwew X {\displaystyle X} uno e un solo elemento di mwfa Y {\displaystyle Y} che viene indicato mwfq f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

mwga f : : X → → Y x ↦ ↦ f ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{ccc}f\colon &X&\to &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}}

o nella notazione equivalente

mwha f : : X → → Y , x ↦ ↦ f ( x ) . {\displaystyle f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f(x).}

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti mwhgprima della legge di applicazione, e che mwhwtutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme mwiq S {\displaystyle S} è ben definita una mwigfunzione identità su mwiw S {\displaystyle S} , con dominio mwja S {\displaystyle S} , codominio mwjq S {\displaystyle S} e legge di applicazione mwjg x ↦ ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} :

mwkq id S : : S → → S , x ↦ ↦ x . {\displaystyle {\text{id}}_{S}\colon S\to S,\quad x\mapsto x.}

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione mwkw x ↦ ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

In alcuni contesti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una mwlwfunzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio mwmacontenuti nell'insieme dei mwmqnumeri reali) quando il dominio è pari all'mwmginsieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, mwng f : : x ↦ ↦ x 2 {\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}} potrebbe sottintendere un dominio mwnw R {\displaystyle \mathbb {R} } e un codominio mwoa R {\displaystyle \mathbb {R} } ;

mwog f : : R + → → R + , x ↦ ↦ x 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\quad x\mapsto x^{2}} ha certamente dominio mwow R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} e codominio mwpa R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} ;

mwpg f : : C → → C , x ↦ ↦ x 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\quad x\mapsto x^{2}} ha certamente dominio mwpw C {\displaystyle \mathbb {C} } e codominio mwqa C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come mwqginiettività, mwqwsuriettività, mwramorfismo).

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ossia se ci si interessa alle sole immagini mwvg f ( x ) {\displaystyle f(x)} dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o mwvwimmagine mwwa f ( X ) = { f ( x ) ∣ ∣ x ∈ ∈ X } {\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}} , che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una mwwgnuova funzione

mwxq f ~ ~ : : X → → f ( X ) , x ↦ ↦ f ( x ) , {\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to f(X),\quad x\mapsto f(x),}

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come mwxwsuriettività o mwyamorfismo).

Ad esempio, nel calcolo di mwyg f ( 1 ) = f ~ ~ ( 1 ) {\displaystyle f(1)={\tilde {f}}(1)} vengono identificate le due funzioni

mwzq f : : R → → R , x ↦ ↦ e x {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto e^{x}}

mwzw f ~ ~ : : R → → R 0 + , x ↦ ↦ e x {\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+},\quad x\mapsto e^{x}}

anche se solo la seconda è un mwaqisomorfismo tra il gruppo mwag ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} e il gruppo mwaw ( R 0 + , ⋅ ⋅ ) {\displaystyle (\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )} .

In mwbganalisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme mwbwaperto e mwcaconnesso di mwcq C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} .

In mwdatopologia per dominio si intende la mwdqchiusura di un mwdginsieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della mwdwconnessione, anche il dominio può dirsi mweaconnesso.

• G. Zwirner, L. Scaglianti, mwfaItinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

• mwgqFunzione (matematica)

• mwgwImmagine (matematica)

• mwhqInsieme di definizione

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Codomain, su MathWorld, Wolfram Research.